3.6. Уравнения эллиптического типа
Теоретический минимум
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса
:R
найти
функцию
,,u u x y
удовлетворяющую уравнению Лапласа
0u
внутри области, ограниченной кругом радиуса
R
с центром в начале
координат, и принимающую на границе круга заданные значения:
,
rR
uf
где
22
22
uu
u
xy
,
,r
– полярные координаты точки
,;xy
f
– заданная функция.
В полярных координатах
,r
уравнение Лапласа имеет вид
2
22
11
0.
uu
r
r r r
r
Решение задачи Дирихле ищется в следующем виде:
0
1
, cos sin ,
2
n
nn
n
a
u r a n b n r
(3.9)
где коэффициенты определяются по формулам
2
0
0
1
,
2
a f d
2
0
1
cos ,
n
n
a f n d
R
2
0
1
sin .
n
n
b f n d
R
Формулу решения задачи Дирихле для круга можно преобразовать и
выразить через интеграл Пуассона
22
2
22
0
1
,.
2
2 cos
Rr
u r f t dt
R Rr t r
Метод решения краевых задач, основанный на замене значений
дифференциальных операторов конечными разностями, т. е.
приближенными значениями, выраженными через значения функций в
отдельных дискретных точках, называется методом конечных разностей,
или методом сеток.
При таком подходе исходная задача приводится к решению
алгебраического уравнения или системы алгебраических уравнений, что
является более простой задачей, чем первоначальная. В результате
приближенно определяются числовые значения искомой функции на
некотором дискретном множестве точек, принадлежащем области, для
которой поставлена задача. По этой причине рассматриваемый способ
решения дифференциальных уравнений относится к численным методам.
Постановка задачи Дирихле. Найти функцию
( , ),U x y
которая внутри
некоторой плоской области
G
удовлетворяет уравнению Лапласа
22
22
0,
UU
xy
(3.10)
а на границе
области
G
– условию
( , ) ( , ),U x y f x y
(3.11)
где
( , )f x y
− заданная непрерывная функция.
Эта задача называется первой краевой задачей. Ее решение
( , )U x y
описывает распределение тепла внутри области
G
при известной
температуре
( , )f x y
на границе области.
Метод сеток, или метод конечных разностей, является одним из
самых распространенных методов численного решения уравнений
математической физики. В его основе лежит идея замены производных
конечно–разностными выражениями. Найдем приближенное решение
уравнения Лапласа методом сеток. Проведем два множества прямых
,,x ih y kh
(3.12)
где
,ik
− целые числа,
h
− выбранный шаг сетки. Заменяем область
G
сеткой, а границу области
замкнутой ломаной линией
(рис. 3.4).
Рис. 3.4.
y
x
Точки пересечения прямых называются узлами. Значения неизвестной
функции
( , )U x y
в узлах сетки обозначим через
,
, ( , ).
i k i k
U U x y U ih kh
Узел называется внутренним, если он принадлежит области
G
. Узел
считается граничным, если он не является внутренним. Каждый граничный
узел должен иметь среди четырех соседних узлов (рис. 3.5) хотя бы один
внутренний, иначе он исключается из сетки.
Рис. 3.5.
В каждом узле границы
зададим значение функции
( , ),f x y
равное
значению функции
( , )f x y
в ближайшей точке границы
.
При этом в
граничных узлах
( ) ( ) ( ).
k
U B U B f B
Значения неизвестной функции будем рассматривать только в узлах
сетки, которые принадлежат
.G
В каждом внутреннем узле заменим частные производные конечно–
разностными выражениями
2
1, , 1,
22
,
2
, 1 , , 1
22
,
2
,
2
.
i k i k i k
x ih y kh
i k i k i k
x ih y kh
U U U
U
xh
U U U
U
yh
Подставим в уравнение (3.10) и сократим на
2
:h
(i, k + 1)
(i, k)
(i, k - 1)
(i - 1, k)
(i + 1, k)
1, , 1, , 1 , , 1
2 2 0.
i k i k i k i k i k i k
U U U U U U
Получаем систему
, 1, 1, , 1 , 1
1
.
4
i k i k i k i k i k
U U U U U
(3.13)
Количество уравнений системы (3.13) равно количеству неизвестных
и равно количеству внутренних узлов. Система (3.13) совместна и имеет
единственное решение, которое дает приближенное значение решения
( , ).U x y
Практический минимум
6А+Б1. Найти стационарное распределение температуры на
однородной тонкой круглой пластинке радиусом 5, верхняя половина
границы которой поддерживается при температуре
20 C
, а нижняя – при
0C
.
Задача сводится к задаче Дирихле для круга. Граничное условие
20, 0 ,
0, 2 .
f
Найдем коэффициенты
0
0
20
20,ad
0
0
20 20
cos sin 0,
55
k
kk
a k d k
k
0
0
20 20 20
sin cos cos 1
5 5 5
k
k k k
b k d k k
kk
21
40
, нечетное,
2 1 5
0, четное.
k
k
k
k
Решение задачи получим по формуле (3.9)
21
21
1
sin 2 1
40
, 10 .
5 2 1
k
k
k
k
u r r
k
6А+Б2. Применяя метод сеток, найти решение уравнения Лапласа
(3.10) внутри области G, ограниченной кривой
:
22
1,
25 9
xy
(3.14)
если на границе
решение удовлетворяет условию
( , ) 0,5 .U x y x y
(3.15)
Рис. 3.6
Поскольку область симметрична относительно начала координат,
найдем решение только в первой четверти. Возьмем шаг
1h
и построим
сетку, которая покрывает область, ограниченную эллипсом (3.14) (рис.3.6).
Вычислим значения функции (3.15) в обозначенных граничных точках
сетки. Например, для точки С на рис. 3.6 видно, что
2,x
а
соответствующее неизвестное значение y найдем из условия (3.14),
пользуясь в Excel формулой =3*КОРЕНЬ(1–D3*D3/25). Полученные
значения поместим в таблицу (рис. 3.7).
y
x
A
B
C
D
E
F
K
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Рис. 3.7
Значения функции
( , )U x y
в граничных точках примем равными
значениям в соответствующих точках границы, пронумеруем узлы сетки и
составим систему уравнений (3.13):
1 2 5 2 5
11
( ) 2 3 2 ,
44
U U A U U U U
2 1 3 6 1 3 6
11
( ) 3,4394 ,
44
U U B U U U U U U
3 2 4 7 2 4 7
11
( ) 3,7495 ,
44
U U C U U U U U U
4 3 8 3 8
11
( ) ( ) 7,7 ,
44
U U D U U E U U U
5 1 6 10
1
2,
4
U U U U
6 2 5 7 11
1
,
4
U U U U U
7 3 6 8 12
1
,
4
U U U U U
8 4 7 9 13
1
,
4
U U U U U
9 8 14 8 14
11
( ) ( ) 7,157 ,
44
U U F U U E U U U
10 5 11
1
2 2 ,
4
U U U
11 6 10 12
1
2,
4
U U U U
12 7 11 13
1
2,
4
U U U U
13 8 12 14
1
2,
4
U U U U
14 9 13 9 13
11
2 ( ) 2,5 2 .
44
U U U U K U U
Слагаемые, содержащие неизвестные переменные, запишем слева, а
свободные члены – справа. В результате получим систему алгебраических
уравнений, которую решим матричным методом по формуле
1
.X A B
В
нашем случае матрица А − матрица коэффициентов при неизвестных −
записана в диапазоне ячеек А9:N22, матрица В − столбец свободных
членов − записана в ячейках Р9:Р22. (рис.3.8)
Рис. 3.8
Найдем обратную матрицу
1
.A
Выделим область соответствующего
размера (диапазон А25:N38) для записи обратной матрицы. Вызовем
формулу массива
x
f
→ Математические → МОБР → ОК.
Зададим адреса матрицы А А8:N22 и нажмем Ctrl + Shift + Enter для
выполнения действия.
Умножим матрицу
1
A
на В и результат запишем в ячейках Р25:Р38.
Для этого выделим диапазон ячеек Р25:Р38. Вызовем формулу массива
x
f
→ Математические → МУМНОЖ → ОК.
Зададим адреса перемножаемых матриц А25:N38 и Р9:Р22 и нажмем
Ctrl + Shift + Enter для выполнения действия (рис.3.9).
Рис. 3.9
Приближенное решение задачи записано в ячейках F41:K44, причем
граничные значения выделены цветом.
Задания для самостоятельной работы
6А+Б3. Найти гармоническую в единичном круге функцию, если ее
граничные значения
.f
Ответ:
21
2
1
cos 2 1
4
,.
2
21
k
k
k
u r r
k
6А+Б4. Определить гармоническую функцию в круге радиуса
1
2
, если
ее граничные значения
1
, sign ,
2
u
.
Ответ:
21
21
1
2 sin 2 1
4
,.
21
k
k
k
k
u r r
k
6А+Б5. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге
а)
0,u
0 1,r
3
1
2cos ;
r
u
б)
0,u
0 3,r
3
3
2sin ;
r
u
в)
0,u
0 4,r
3
4
17sin .
r
u
